메뉴바로가기본문바로가기

동아사이언스

우리 집에 수학이 있다

통합검색

우리 집에 수학이 있다

2016.10.02 10:00

집 주인이 외출하고 나면 새로운 세상이 열려요. 눈치 보며 숨죽이고 있던 물건들이 스멀스멀 움직이기 시작하지요. 앗, 그런데 여기 움직이는 물건에는 공통점이 있어요. 바로 수학이 숨어있습니다.

 

GIB 제공
GIB 제공

● 창문
태양을 피하고 싶어서~


가장 먼저 적막을 깬 건 창문이에요. 창문을 활짝 열자, 시원한 가을바람이 솔솔 들어옵니다. 창문은 쨍쨍 내리쬐는 가을 햇빛을 막아주는 역할도 해요. 햇빛을 차단하는 데 창문을 닫는 것만으로는 부족하다면 블라인드나 커튼을 치면 돼요.


앗, 그런데 커튼이 사라졌어요! 지금은 햇빛이 잘 들어오는 오후 3시. 이러다 테이블 위에 놓인 초콜릿이 다 녹게 생겼어요. 햇빛의 양을 반으로 줄이면 좋을 것 같은데…, 커튼이 없어도 가능할까요?


다른 조건이 같다고 할 때, 빛이 들어오는 양은 창문의 크기에 비례합니다. 크기를 반으로 줄이기 위해 정사각형의 네 변의 각 중점을 이어 창문을 만들어 볼게요. 그럼 처음 사각형 넓이의 정확히 절반이 됩니다. 어떻게 알 수 있냐고요? 피타고라스 정리를 이용해 구해볼게요.


피타고라스 정리는 직각삼각형에서 성립하는 법칙입니다. 직각삼각형의 세 변 중 가장 긴 변인 빗변의 길이를 제곱한 값이 나머지 두 변의 길이를 각각 제곱해 더한 값과 같다는 법칙이지요.


창문을 만들 수 있는 정사각형 공간의 한 변의 길이를 A라고 하면 원래 창문의 넓이는 A2입니다. 정사각형 네 변의 중점을 이어 만든 창문의 한 변의 길이는 B라고 할게요. 피타고라스 법칙에 따르면 B2={(1/2)A}2+{(1/2)A}2이 돼요. B2=(1/4)A2+(1/4)A2이니,B2=(1/2)A2 입니다. 새로운 창문의 넓이가 원래 창문 넓이의 반이 됐어요!

 

GIB 제공
GIB 제공

● 초콜릿
빼곡히 채우고 싶은데!


테이블 위에 초콜릿 통이 놓여 있어요. 알록달록하고 다양한 모양의 초콜릿이 잔뜩 들어있는데, 안타깝게도 테이블에 쏟아졌네요. 초콜릿을 통에 다시 담아야 겠어요. 통에 가능한 많은 초콜릿을 가득 채워 놓고 싶은데, 방법이 없을까요?


수학에서는 최적화 문제 중 하나로 ‘상자 채우기 문제’가 있어요. 정해진 공간에 다양한 상자를 최대한 많이 넣는 방법을 찾는 문제이지요. 택배 회사 직원처럼 하루에도 몇 번씩 여러 모양의 상자를 차에 실어야 할 때 필요해요.


‘상자 채우기 문제’는 계산복잡도 이론에서 ‘NP-하드’로 분류될 정도로 복잡하고 어려운 문제예요. NP 문제는 답이 맞는지 확인하는 데 다항식 시간만큼만 걸린다는 뜻으로, 답을 확인하는 과정의 횟수를 다항식으로 나타낼 수 있는 문제의 집합이에요. 적어도 그런 NP 문제만큼 어려운 문제들의 집합이 NP-하드인 것이지요.

 

난제만 있는 것은 아니에요. 채우기 문제는 공간의 모양과 채우는 물건의 종류에 따라 다양해요. 유한한 공간인 삼각형이나 사각형을 똑같은 모양의 원으로 채우는 것처럼 어렵지 않은 문제도 있어요.

 

일러스트 이창우, GIB 제공
일러스트 이창우, GIB 제공

● 개미
빨리 움직이고 싶은데!


창문이 황급하게 네 모서리를 직각삼각형 모양으로 막아 햇빛을 반으로 가렸지만 역부족이었나봐요. 초콜릿 병에서 쏟아져 나온 초콜릿 몇 개는 이미 녹아버렸네요. 초콜릿이 녹아 달콤한 향기가 집 안에 퍼졌어요. 그러자 냄새를 맡은 개미들이 어디선가 몰려와 초콜릿을 한 덩이씩 들고 가져가려고해요. 그런데 왜 개미들이 일직선으로 움직이지 않고 우회해서 매끄러운 바닥 위로 움직이는 걸까요?


개미는 먹이를 찾아다닐 때 가장 짧은 길이 아닌 가장 빠른 길을 찾아다니기 때문입니다. 거친 길 위로 가는 경로를 줄이고, 매끄럽고 부드러운 바닥 위로 가는 경로를 늘려 가장 빠른 길을 찾지요. ‘페르마의 원리’에 따르면 빛은 가장 짧은 경로가 아닌, 가장 시간이 적게 걸리는 경로를 따라 진행합니다. 개미들도 이 페르마의 원리를 따른 거예요.


그런데 개미들은 초콜릿 주변에 모였지만 섣불리 움직이지 않아요. 지난 7월 MIT 전기공학 및 컴퓨터과학과 카메룬 무스코 연구원은 이 원인을 알아냈어요. 무스코 연구원은 개미들의 행동을 수학적으로 분석했는데, 개미들은 한 장소에 어느 정도 모인 뒤에 집단으로 이동한다고 밝혔어요.


정말로 개미가 어느 정도 모여들자 각자 초콜릿을 들고 집으로 돌아가기 시작하네요.

 

GIB 제공
GIB 제공

● 양말
짝꿍이 사라졌다


양말은 꼭 한 짝씩 사라져요. 별것 아닌 것 같지만 계산해 보면 손실이 매우 크지요. 한 연구 결과에 따르면 영국에서 한 해에 짝을 잃는 양말이 무려 8400만 개라고 해요. 비용으로 따지면 어마어마하겠지요.


통계학자 조프 엘리스는 양말을 잃어버릴 확률을 예측하는 수학식을 만들었어요. 양말의 크기와 빨래하는 날의 기분, 그리고 주머니 뒤집힌 것을 확인하는 주의력과 몇 번이나 나눠 빨래하는지 등을 이용해 수식을 만들었지요.


양말을 잃어버릴 확률 = (L+C)-(P×A)


L은 양말 크기, C는 빨래 복잡도, P는 기분, A는 주의력입니다. 수식의 값이 클수록 양말을 잃어버릴 확률이 높다고 하네요. 통계모형을 이용해 조금 더 정확하게 구한 확률은 다음과 같아요.


양말을 잃어버릴 확률 = 0.38+(0.005×L)+(0.0012×C)-(0.0159×P×A)3


연구 결과 색깔이 있는 양말을 잃어버릴 확률이 가장 높아요. 하얀 양말, 줄무늬 양말, 그리고 점무늬 양말을 잃어버릴 확률의 3배나 되지요.

 

GIB 제공
GIB 제공

● TV
우리 사이의 거리


집에서 축구경기를 더 재밌게 볼 방법이 있을까요? 자리만 잘 잡으면 가능해요! 화면 크기에 따라 화면이 잘 보이는 거리를 구할 수 있거든요.


다른 조건이 같다면, 화면 대각선 크기의 1.6배 떨어진 거리에서 TV를 봐야 실감 나게 볼 수 있어요. 예를 들어 대각선 길이가 20인치인 TV를 보려면 20×1.6= 32인치, 약 81.28cm 떨어진 거리에서 봐야 합니다.


시야각 때문이지요. 일반적으로 사람의 눈은 정면을 바라보는 것을 기준으로 위로 60°, 아래로 75°까지 볼 수 있어요. 또 왼쪽 눈은 왼쪽으로 95°, 오른쪽으로 60°까지 볼 수 있어요. 오른쪽 눈은 대칭을 이루고요. 양쪽 눈으로 동시에 볼 수 있는 각도는 최대 150°예요.


시야각은 동물에 따라 달라요. 동물마다 머리의 생김새, 눈동자의 모양이 달라 시야각도 다르기 때문이지요. 그래서 창문 밖에서 몰래 보고 있는 비둘기에게는 최고의 위치가 아니에요.

 

수학동아 제공
수학동아 제공

● 시계
시침과 분침의 만남


시계에도 수학이 숨어있어요. 일반적으로 시계에는 시침, 분침, 초침이 있어요. 이 세 침의 속도는 서로 다르지요. 어떻게 구할 수 있을까요?


시계는 직선에서 사용하는 속도가 아닌 각속도를 사용해요. 각속도는 회전이 일어나는 방향으로 이동할 때 걸리는 속도로, 회전 속도라고도 해요.


반지름이 1인 원에서 호의 길이가 1일 때 각의 크기를 1라디안(rad)이라고 해요. 반지름이 1인 원의 둘레는 2π예요. 360°는 2πrad가 되지요. 분침의 속도는 총 이동 거리를 시계 한 바퀴를 도는 데 걸리는 시간인 60분으로 나누면 돼요. 그래서 분침의 1분당 각속도는 2π/60 rad/분입니다. 시침의 1분당 각속도는 어떻게 될까요? 같은 거리를 도는 데 12시간, 즉 12×60분이 걸립니다. 시침의 1분당 각속도는 2π/720 rad/분입니다. 시침이 1바퀴 돌 때, 분침은 12번 돌기 때문에 시침과 분침은 12시간 동안 12번 만나게 됩니다.


갑자기 물건들이 제자리를 찾아가고 있어요. 주인이 돌아오는 시각이거든요. 주인은 시침과 분침이 7번째 만날 때 돌아온다고 하는데요, 주인이 돌아오는 시각은 언제일까요?

이 기사가 괜찮으셨나요? 메일로 더 많은 기사를 받아보세요!

댓글 0

17 + 6 = 새로고침
###
    과학기술과 관련된 분야에서 소개할 만한 재미있는 이야기, 고발 소재 등이 있으면 주저하지 마시고, 알려주세요. 제보하기

    관련 태그 뉴스