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시에르핀스키 문제 이제 다섯 걸음 남았다

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시에르핀스키 문제 이제 다섯 걸음 남았다

2017.01.13 15:00

 

GIB 제공
GIB 제공

최근 프라임그리드 소속 페테르 서볼치가 가장 작은 시에르핀스키 수의 후보를 5개로 줄이는 데 성공했습니다. 프라임그리드는 어마어마하게 큰 소수를 컴퓨터로 찾는 단체로, 회원들은 컴퓨터를 인터넷에 연결해 함께 거대한 계산 문제를 해결합니다. 현재 114개국에서 7500여 명이 참여하고 있습니다.


시에르핀스키 수란 홀수 중 하나로, 2n을 곱한 다음 1을 더했을 때 반드시 합성수가 되는 수입니다. n에 어떤 수를 대입해도 항상 합성수가 되지요.


폴란드의 수학자 바츠와프 시에르핀스키는 1960년 이런 시에르핀스키 수가 무한히 많다는 사실을 증명했습니다. 1962년에는 미국 수학자 존 셀프리지와 함께 시에르핀스키 수 중에서 가장 작은 수가 78557이라고 추측했습니다. 이를 ‘시에르핀스키 문제’라고 합니다.

 

폴란드 수학자 시에르핀스키는 프랙탈 도형인 시에르핀스키 피라미드를 고안한 것으로 유명하다. - Maksim(w) 제공
폴란드 수학자 시에르핀스키는 프랙탈 도형인 시에르핀스키 피라미드를 고안한 것으로 유명하다. - Maksim(w) 제공

문제를 풀려면 78557보다 작은 홀수가 시에르핀스키 수가 아님을 밝혀야 합니다. 즉 78557보다 작은 홀수 k와 어떤 자연수 n을 대입해 k·2n+1을 계산한 값이 소수라는 것을 보이면 되는 것이지요. 78557보다 작은 홀수는 3만 9278개나 있지만 대부분이 n이 9이하의 자연수일 때 k·2n+1의 값이 소수라고 밝혀져 가장 작은 시에르핀스키 수의 후보는 얼마 전까지 6개였습니다.


그런데 2016년 10월 31일 페테르가 10223마저 시에르핀스키 수가 아니라는 것을 밝혀 그 후보를 5개로 좁혔습니다. n이 31172165일 때, 10223×231172165+1이 소수라는 것을 알아낸 것이지요.


프라임그리드는 지금 이 시간에도 남은 후보 5개 21181과 22699, 24737, 55459, 67607이 시에르핀스키 수인지를 검증하기 위해 컴퓨터를 돌리고 있습니다. 머지않아 시에르핀스키 문제가 완전히 풀렸다는 소식이 들려왔으면 좋겠네요.

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