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[2018년 필즈상] 환호와 충격 안긴 연구로 후보에 오른 게오르디 윌리엄슨 교수

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2018년 04월 12일 11:00 프린트하기

※ 편집자 주. 2018년 8월 1일 열리는 브라질 리우데자네이루 세계수학자대회 개막식에서 만 40세 미만의 젊은 수학자가 받을 수 있는 최고 영예, 필즈상 수상자가 정해 집니다. 올해는 누가 수상의 영광을 누리게 될까요? 7개월간 필즈상 후보자 10명을 뽑아 소개합니다.

 

 

국적 | 호주

생년 | 1981년(만 37세)

연구 분야 | 표현론

소속 | 호주 시드니대학교

수상 | 클레이 수학상(2016), 유럽수학상(2016), 브레이크스루상 뉴 호라이즌(2017)

 

수학자가 점치는 필즈상 2순위는 호주 수학자 게오르디 윌리엄슨 교수입니다. 2018 필즈상 예측 사이트에서도 3월호에 소개한 알레시오 피갈리 교수와 함께 2위 자리를 두고 엎치락뒤치락하며 치열하게 다투고 있습니다.

 

윌리엄슨 교수는 표현론을 연구하는 수학자 사이에서 업적이 ‘화려하다’는 평을 듣고 있습니다. 한번은 이 분야에서 유명한 문제를 해결해 환호하게 만들었고, 다른 한 번은 당연히 옳다고 여겼던 추측이 틀렸다는 걸 밝혀 충격에 빠뜨렸기 때문입니다.

 

게오르디 윌리엄슨 교수 - youtube 제공
게오르디 윌리엄슨 교수 - youtube 제공

수학자를 충격에 휩싸이게 한 업적은 리 군의 단순가군 표수에 관한 ‘루스즈티그의 추측’이 틀렸다는 걸 밝힌 겁니다. 표현론 연구의 기본은 빌딩이 어떤 단위블록으로 구성돼 있는지, 몇 차원인지, 크기와 모양(표수)이 어떤지를 알아내는 겁니다. 여기서 말하는 빌딩은 수학적인 대상의 표현이고, 단위블록은 소수처럼 더는 쪼갤 수 없는 성질을 말합니다. 예를 들어 합성수 빌딩은 소수라는 단위블록들로 이뤄지지요.

 

루스즈티그의 추측은 행렬로 이뤄진 군(리 군)에 대응하는 ‘단순가군’을 하나의 빌딩으로 봤을때 단위블록의 크기와 모양이 어떤지를 특정 공식(카즈단-루스즈티그 다항식)으로 알 수 있다는 겁니다. 많은 수학자가 이 추측이 옳다고 믿어 왔는데, 윌리엄슨 교수가 틀린 예를 찾은 것이지요.

 

수학자를 환호하게 한 건 ‘카즈단-루스즈티그 추측’을 대수적으로 해결한 일입니다. 적당한 리대수를 빌딩으로 봤을 때 단위블록이 바일 군과 관련된 카즈단-루스즈티그 다항식으로 나타난다는 겁니다. 바일 군은 헤케 대수에 대응되고, 여기에는 두 가지 기저가 있습니다. 표준 기저라는 녀석과, 여러 조건에 의해 특별하게 만들어진 카즈단-루스즈티그 기저입니다.

 

카즈단-루스즈티그 기저를 표준 기저의 선형결합으로 바꿀 수 있는데요, 그러면 q에 관한 다항식이 만들어집니다. 이게 바로 카즈단-루스즈티그 다항식입니다. 윌리엄슨 교수는 이 식의 모든 계수가 자연수 아니면 0이라는 것까지 밝혀 ‘카즈단-루스즈티그 양수 추측’까지 해결했습니다.

 

박의용 서울시립대 수학과 교수는 “두 기저 사이의 선형결합으로 만들어진 다항식의 계수는 나누기로 인해 보통 정수가 아닌데, 이게 자연수라는건 매우 특이한 일”이라면서, “이럴 경우 수학자는 다항식의 계수가 특정한 조합적 대상을 센 것이라고 추측하기 때문에 윌리엄슨 교수의 연구는 표현론을 넘어 조합론과 대수기하학에까지 영향을 미친다”고 밝혔습니다. 카즈단-루스즈티그 다항식은 성질이 좋아 여러 분야에서 등장하거든요.

 

 

● 인생 문제 만나 수학자된 문학도

 

윌리엄슨 교수에게 카즈단-루스즈티그 양수 추측은 아주 특별한 의미가 있습니다. 이 문제 덕분에 문학도에서 수학자로 진로를 바꿨기 때문입니다. 사실 대학교 3학년까지는 철학과 영국 문학에 더 관심이 많았다고 합니다. 그래서 그런지 중고생 시절 국제수학올림피아드에도 출전한 적이 없습니다. 학부 전공도 문학사입니다.

 

2016년 7월, 윌리엄슨 교수(오른쪽)는 또 다른 필즈상 후보인 페터 숄체 교수(왼쪽)와 함께 유럽수학상을 받았다. 그때 찍은 사진. - Hausdorff Cente 제공
2016년 7월, 윌리엄슨 교수(오른쪽)는 또 다른 필즈상 후보인 페터 숄체 교수(왼쪽)와 함께 유럽수학상을 받았다. 그때 찍은 사진. - Hausdorff Cente 제공

윌리엄슨 교수는 대학교 3학년 때 ‘갈루아 이론’을 접하며 수학 공부를 진지하게 생각하게 됐고, 카즈단-루스즈티그 양수 추측을 알게 되고 난 뒤 이 문제에 빠져 관련 수학만 팠다고 합니다. 아주 어린 시절부터 한 주제에 대해 몇 주씩 길게 생각하는 것을 좋아했는데, 수학이야말로 그러기에 안성맞춤이었던 거지요.

 

사색을 좋아한다고 하니 왠지 지루한 사람일 것 같지만, 취미로 암벽 등반과 요가를 즐기는 스포츠 마니아입니다. 학회에서도 먼저 수학자들에게 인사를 건네는 활발한 성격이랍니다.

 

윌리엄슨 교수 역시 필즈상 0순위인 페터 숄체 교수와 마찬가지로 기조강연자로 브라질을 찾습니다. 2014년 필즈상 수상자 중 두 명이 그해 대회 기조강연자였습니다. 이번 기조강연자 중에 40세 이하는 숄체 교수와 윌리엄슨 교수 둘뿐인데요, 누구에게 좋은 소식이 있을지 지켜봐 주세요.

 

 

*출처 : 수학동아 4월호

*일러스트 : 담

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