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[주말N수학]3차원에선 황금비보다 플라스틱수가 더 이상적이다

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[주말N수학]3차원에선 황금비보다 플라스틱수가 더 이상적이다

2019.07.20 06:00
한스 반 데르 란은 여러 수도원과 성당, 그리고 내부의 를 플라스틱 수를 적용해 설계했다. 사진은 네덜란드 발스에 위치한 성 베네딕투스베르그 수도원. Bauhaus-University Weimar 제공
한스 반 데르 란은 네덜란드 발스에 위치한 성 베네딕투스베르그 수도원. Bauhaus-University Weimar 제공

황금비는 인간이 인식하기에 가장 균형적이고 이상적으로 보이는 비율로 수학과 미술, 건축, 음악에서 아름다움의 기준으로 불립니다. 지난 2000년 가장 이상적인 황금비는 1.61803··으로 꼽혀왔습니다. 보통은 2차원 그림을 기준으로 적용했는데 20세기 초에 3차원의 황금비를 나타내는 새로운 수가 등장했습니다. ‘플라스틱 수’라는 독특한 이름을 가진 수 1.32471···입니다.  

 

기원전 300년경에 활동한 수학자 에우클레이데스(유클리드)는 기하학에 관한 자신의 책 ‘원론’에 선분을 나누는 문제를 설명했습니다. 이 문제의 답이 1.61803···이었지요. 후대의 학자들이 이 수를 황금비라 부르며 자연과 미술, 건축 등 다양한 영역에서 황금비를 발견했습니다.

 

플라스틱 수는 1928년 네덜란드의 건축가이자 가톨릭 수도자인 한스 반 데르 란이 발견한 수입니다. 고대 그리스인들은 아름다움의 핵심이 얼마나 명료하게 느껴지는지에 있다고 생각했는데, 란은 3차원 물체를 명료하게 인식하게 해주는 비율로 1.32471…이라는 플라스틱 수를 제시했습니다.

 

황금비와 플라스틱 수는 비슷하다

 

란은 황금비와 플라스틱 수의 관계도 수학적으로 밝혔습니다. 아래쪽 그림처럼 직선 AB를 황금비로 분할하 는 점 C를 잡은 뒤 C와 B 사이에 AB:AD=AD:BC를 만족하는 점 D를 한 번 더 찍은 것입니다.

 

● 뇌가 물체를 인식하는 기준이 되는 수

 

 

란은 인간이 3차원 물체의 크기 차이를 어떻게 인지하는지 연구하면서 플라스틱 수를 정의했습니다. 위에 그림은 크기가 다른 정육면체 20개를 모아 두고 위에서 본 모습입니다.

 

란은 색과 질감, 그리고 모양이 같을 때 우리의 뇌는 정육면체 사이의 관계를 모서리 길이의 비에 따라 인식한다고 생각했습니다. 먼저 크기 차이를 인식한 뒤 이들을 순서대로 정렬하는 과정이 머릿속에서 자연스럽게 이뤄진다는 것입니다.

 

그렇다면 두 정육면체의 크기가 다르다고 느끼게 만드는 가장 작은 모서리 길이의 비는 얼마일까요? 란은 실험을 반복해 통계를 낸 결과 1.32471…이라는 수를 얻었습니다. 란은 이 수가 3차원적인 형태를 만들 때 활용할 수 있는 기초적인 수라는 생각에 플라스틱 수라는 이름을 붙였습니다. 란은 실제로 이 비율을 이용해 건물과 가구 등 다양한 3차원 형상을 가진 물체를 설계했습니다.

 

네덜란드 발스에 위치한 성 베네딕투스베르그 수도원의 내부. 네덜란드 발스에 위치한 성 베네딕투스베르그 수도원의 내부. 테이블 위아래 길이의 비를 비롯해 건물의 가로세로 길이의 비, 1층과 2층 및 지붕의 높이 비 등 많은 부분에 플라스틱 수를 활용해 설계했다.Bauhaus-University Weimar 제공Bauhaus-University Weimar 제공
네덜란드 발스에 위치한 성 베네딕투스베르그 수도원의 내부. 테이블 위아래 길이의 비를 비롯해 건물의 가로세로 길이의 비, 1층과 2층 및 지붕의 높이 비 등 많은 부분에 플라스틱 수를 활용해 설계했다. Bauhaus-University Weimar 제공

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