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끝없이 연결되는 정다면체에 숨겨진 이야기

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끝없이 연결되는 정다면체에 숨겨진 이야기

2013.02.25 16:14

닭이 먼저일까, 달걀이 먼저일까? 이 해묵은 질문의 답이 언제나 알쏭달쏭한 이유는 자연의 시작과 끝을 정확히 알기가 무척 어렵기 때문이다. 흙 속에 심겨진 씨앗이 무럭무럭 자라나 열매를 맺고 생태계의 순서를 따라 다시 흙으로 돌아오듯, 자연은 순환한다. 이런 자연의 성질을 꼭 닮은 입체도형이 있다. 수학자들이 완전한 다면체이라 부르는 ‘정다면체’가 바로 그 주인공이다.

서로를 품는 따뜻한 입체도형
정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형으로, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 볼록한 대칭 구조를 보인다. 그렇기 때문에 수학자들은 오래 전부터 정다면체를 가장 아름답고 완전한 도형이라고 불렀다.

유럽에서는 고대부터 수학자뿐만 아니라 과학자, 철학자, 예술가들도 이런 정다면체에 관심이 컸다. 정다면체는 고대 그리스에서 처음 발견됐다. 기하학의 아버지라는 그리스 수학자 유클리드의 <원론> 제13권에 자세히 기록돼 있다. 그러다 15세기 즈음 수학자들은 정다면체가 끝없이 순환하는 성질이 있다는 사실을 발견했다. 다섯 종류의 정다면체가 그 안에 서로 다른 정다면체를 품으며 돌고 돈다. 각각 모양이 다른 정다면체가 어떻게 서로를 품을 수 있는 걸까?


내 안에 너 있다!
기본적으로 정다면체는 각 면의 중심을 잇거나 모서리의 중점을 이으면 그 속에 새로운 정다면체를 만들 수 있다. 수학자들은 아래와 같은 다양한 방법으로 각 정다면체가 품는 새로운 정다면체를 연구해, 17가지의 경우를 찾아냈다.

수학자들은 이런 정다면체의 순환 중에서 모든 경우의 수를 따져 하나의 흐름으로 서로를 연결할 수 있는 경로를 찾아냈다. 수학자들은 이를 ‘정다면체의 순환’이라 불렀다. 정다면체의 순환 경로는 ‘정사면체⊂정육면체⊂정십이면체⊂정이십면체⊂정팔면체⊂정사면체’로 유일하다. 어느 정다면체에서 시작하든 순서만 지키면 자기 자신으로 되돌아 올 수 있다.

실제로 정다면체의 순환은 각 정다면체의 모서리의 길이와 면과 면사이의 각도가 철저하게 계산된 결과다. 예를 들어 정사면체의 한 모서리 길이와 정육면체 한 모서리의 길이는 2:1의 비를 따른다. 그리고 정사면체 면과 면 사이의 각도는 70.529°이다.

길이 비가 일정한 규칙을 따르기 때문에 정다면체 순환에서는 부피 비 또한 특별하다. 2단계에서 만들어지는 정육면체와 정육면체에 내접하는 정사면체(1단계)의 부피비는 1:3, 5단계에서 만들어지는 정팔면체와 6단계에서 만들어지는 정사면체의 부피비는 1:2다. 정사면체의 순환을 모두 완성하면 길이 비, 부피 비의 신비를 모두 관찰할 수 있다.



정다면체 순환, 수학동아키트로 즐기자!
세밀한 ‘길이’와 ‘각도’로 만들어진 정다면체의 순환과정을 직접 체험해 보기란 쉬운 일이 아니다. ‘두께가 없는 선’을 ‘두께가 있는 교구’로 표현하기는 꽤 어렵다. 이 때문에 기존의 교구는 단계가 진행될수록 각 꼭짓점이 거대해지거나, 길이가 미세하게 달라져 2단계 또는 3단계까지만 가능했다.

이런 단점을 보완하기 위해 수학디자인연구소에서는 정다면체의 꼭짓점은 ‘쇠구슬’로, 각 모서리의 끝은 ‘자석’으로 만들었다. 또한 모든 모서리를 구성하는 ‘나무 막대’가 길이에 따라 색깔별로 구성 돼 있어, 정다면체를 차례대로 만들기도 쉽다. 막대 끝에 달린 3mm 길이의 자석도 막대와 두께를 달리해, 한 꼭짓점에 여러 개의 막대가 서로 부딪치지 않고 잘 붙어 있을 수 있도록 설계 됐다. 자작나무로 만들어진 고급 나무 막대에 인체에 무해한 왁스로 색을 낸 것도 수학동아키트만의 장점이다.

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